Интеграл Лебега

Я провел опрос среди своих знакомых и выяснил, что мало кто ориентируется в таком понятии, как интеграл Лебега. В связи с этим возникает необходимость в просветительской деятельности, касаемой данного вопроса.

Каждый знает или по крайней мере догадывается, как измерить длину отрезка прямой линии, посчитать площадь или объем фигур правильной или относительно правильной формы. В тех случаях, однако, когда эти фигуры сформированы из множества точек, разбросанных самым сложным и неправильным образом, или тем более в случаях, когда наше множество точек является столь сложным, что невозможно описать его строение общепринятыми представлениями о длине, площади и объеме, то приходится привлекать абстрактные формальные математические рассуждения. Интеграл Лебега как раз и является инструментом, созданным для измерения сложных точечных множеств подобного рода.

Конечно, это понятие из области высшей математики, но его теория не содержит никаких особенных длинных математических преобразований или запутанных логических построений.  Скажем только, что при изучении теории интеграла Лебега последовательно переходят от длины изолированных интервалов к длине более сложных множеств, состоящих из бесконечной последовательности интервалов, и далее к длине еще более сложных множеств, которые (так же как и совокупность точек, не принадлежащих к нашему множеству) можно сколь угодно точно приблизить такой последовательностью интервалов. Простыми словами Лебег сумел разумным образом распостранить понятие длины со случая отдельного интервала на случай наиболее сложных точечных множеств, для которых это понятие оказывается еще имеющим смысл.

Многие сделали себе имя, применив в той или иной области метод интегрирования по Лебегу. Помните такой старый анекдот, когда профессор просит судентов назвать пример помощи науки бизнесу. Один студент встает и говорит: «Пожалуйста: закон всемирного тяготения способствует развитию бизнеса, основанного на производстве и продаже подтяжек.»

Так и в нашем случае: метод интегрирования по Лебегу — удочка в наших руках. Осталось наловить рыбу…

P.S.: В следующий раз мы подробно остановимся на интеграле Фурье.